2018년 8월 7일 화요일

펑터, 어플리커티브 펑터, 모나드에 대해 공부해보자.

출처들:
http://adit.io/posts/2013-04-17-functors,_applicatives,_and_monads_in_pictures.html
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EB%82%98%EB%93%9C_(%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0)
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EB%85%B8%EC%9D%B4%EB%93%9C
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0
https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(category_theory)
https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(functional_programming)


펑터, 어플리커티브 펑터, 모나드에 대해 공부해보자.



1. 펑터(Functor)란 무엇인가.

박스 안에 당신이 사랑하는 무엇 인가를 가둔다. 박스 안에 있는 물건은 마음대로 변경할 수 없다.
[1]  # [] 가 박스의 형태라고 하자. 
# (어짜피 리스트는 박스의 한 형태이며, 또한 박스처럼 생겼으니 박스라고 하자.)
당신은 박스 안에 1을 넣었다. 나중에 시간이 지나서 이 박스 안에 1에 +1을 하고 싶어졌다고 하자.
당신은 박스 안에 있는 것을 마음대로 빼내서 2로 바꿀 수 없다.
이럴때 필요한 것이 functor이다.
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

여기서 f는 박스의 형태를 말한다. 위에서 우리는 []가 박스의 한 형태라고 말 한적이 있다.
위에서 a는 당신이 소중하게 여기는 값의 형태이다. 나는 여기에 1 을 넣었으니, Number 일 것이다.

내 박스 안에 값을 더하고 조심스럽게 변화시키고 싶다. 당신은 박스에 내용을 꺼내서 변경할 수 없다.
왜냐하면 그것은 너무 소중해서 바깥 세상에 더럽혀지면 안된다. 대신
박스 안에 함수를 넣는다. 그것이 (a -> b)이다. a형태의 값을 b로 변경하는 함수를 박스 안에 넣는다고 상상해보자.
내가 너무나도 사랑하기에 꺼낼 수는 없지만 변경해야 할 때, 당신은 그 박스 안에 함수를 넣는것이다.

>fmap (+2) [1]
[3]
나는 [1] 에서 1을 꺼내서 2를 더하지는 못했지만, [1] 박스 안에 (+2) 를 넣어서 박스 안에 값을 3으로 바꾼후 박스에 넣어진 채로 리턴받았다.
<$>에 대해서 알아야 할 것이 있는데 <$>는 fmap의 infix버전이라고 보면 된다. (그러니까 줄임말 같은 것인데 infix로 쓰인다는 것)
(+2) <$> [1]
[3]


2. 어플리커티브 펑터

이제 내 안에 있는 박스를 소중하게 변경하는 법을 알았다. 박스안에 값들을 숨기고 (혹은 그 박스 안에 넣어야만 가치있는 값일 지도 모른다. 아니면 효율적인 것일지도) 그 박스 안에 내용들이 더럽혀지지 않도록 하는 것.
그럼으로써 나는 값을 변경하는데 실수하지 않았다는 확신이 들 것이다. 왜냐하면 내가 fmap(펑터)로 박스안에 주입한 함수만이 박스 안의 내용을 변경할 것이니 그것들만 체크하면 되기 때문이다.
(바깥의 내용이 변화를 일으키지 않는다는 확신을 갖게 할 것이다.)

하지만 이렇게 생각해보자. 박스 안에 값들도 중요하지만, 내 소중한 값들을 변경할 녀석(함수)은 중요한 녀석일까 아닐까?
당연히 중요하다.
이녀석들도 박스로 꽁꽁 숨겨서 보관해야할 경우가 있다. 아니면 박스 형태로 올 경우가 있다.
박스 안에 있는 함수를 꺼내서 다른 박스에 넣을 수 있을까? 현재로썬 불가능하다. 그렇기 때문에 펑터를 사용한 것이다. 박스 안에 있는 함수를 꺼낼 수 있다면, 값을 꺼낼 수도 있을 것 아닌가! (왜냐하면 하스켈에서 함수는 값과 별반 다르지 않기 때문에!)
이럴때 어플리커티브 펑터를 이용하는 것이다.
Control.Applicative의 <*>로 가능하게 한다.
>[(+2),(+10)] <*> [10,20,30]
[12,22,32,20,30,40]
앞에 [(+2),(+10)] 는 함수들을 담은 박스다. 이 것을 이용해서 값을 담을 박스 [10,20,30]를 변형시킬 것이다. (아니 변형시키는 것이 아니라 새로 만들어서 리턴하는 것이다.)

다른 예제를 보자.
> (+) <$> [1,2] <*> [10,20,30]
[11,21,31,12,22,32]
<$>는 fmap의 infix버전임을 아까 말했다. <*>는 이제 어플리커티브 펑터라고 보자.
이녀석들은 왼쪽부터 실행된다. 왜냐고?
Prelude> :info <$>
(<$>) :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b
-- Defined in ‘Data.Functor’
infixl 4 <$>

Prelude> :info <*>
class Functor f => Applicative (f :: * -> *) where
...
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
...
-- Defined in ‘GHC.Base’
infixl 4 <*>
infixl 4 <*>, <$> 이 보일 것이다. infix는 중위연산자라는 것이고 그 다음에 붙어있는 l은 left인 것으로 알고 있다. 그러니 left부터 인것이다. (4)는 우선순위이다. 누구먼저 실행되냐인데 둘 다 4 이므로
왼쪽에 있는 녀석이 실행될 것이다.

(+) <$> [1,2] 가 어떻게 실행되는 것인지 보자.
Prelude> :t (+) <$> [1,2]
(+) <$> [1,2] :: Num a => [a -> a]
박스 안에 a -> a 가 들어있다. 함수라는 말이다. 아마 [(+1), (+2)] 가 들어있을 것이다. 하지만 볼 수는 없다. Show가 구현되지 않았기 때문이다.
그렇다면 [(+1),(+2)] <*> [10,20,30]과 같아진다.

이런 일을 한번에 해주는 녀석이 있다.
(<*>) = liftA2 id
liftA2 f x y = f <$> x <*> y
liftA2로 한번 실행해보자.
Prelude> liftA2 (+) [1,2] [10,20,30]
[11,21,31,12,22,32]

3. 모나드

지금까지 무엇을 배웠나 생각해보자.
펑터 : fmap 혹은 <$>, 박스로 보호되고 있는 값에 함수를 주입하여 [박스 안에 새로운 값]을 넣는다.
어플리커티브 펑터 : <*> 혹은 listA2, 박스로 보호되고 있는 값과 함수로 [박스 안에 새로운 값]을 넣는다.


모나드는? 이것들과 별반 다른 것이 없을 것이라고 믿어보자.
(사실 잘 모르겠으며, 만약 이 글을 읽어주는 자비심 많은 독자가 있으시다면, 아래 내용은 저의 의식의 흐름으로 적어간 기록이기 때문에 스킵 하시고 내려가세요. 아래 ==END== 로 )
=========================== START ========================
일단 모나드가 뭐냐? 위키를 봐보자.
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EB%82%98%EB%93%9C_(%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0)
범주론에서, 모나드는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다.
모노이드란?
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EB%85%B8%EC%9D%B4%EB%93%9C
추상대수학에서, 모노이드는 항등원을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다.
항등원을 갖고, 결합 법칙을 따르는 이항연산(binary oeprator)을 갖춘 구조인데 항등원은 아무리 연산을 해도 같은 것이고, 결합 법칙은 다르게 결합해도 같은 것을 말한다.
곱하기(*)를 예로들자
15 * 1 = 15 (항등원)
(15 * 2) * 10 = 15 * (2 * 10) (결합법칙)
이런 형태이면 모노이드라고 부르는가 보다.

여기서 범주론은 뭘까?
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0
수학에서 범주론(category theory)는 수학적인 구조와 그 사이의 관계를 "범주"라는 추상적 개체를 다루는 이론이다.
20세기 전반에는 수학을 이해하는 도구로 집합론을 꼽았다.
(집합론 : 수학의 이론이란 것은 모두 어떤 대상을 가지고 있는데 이 대상의 모입을 '집합'이라고 부르고 각각의 대상은 이 집합의 원소로 보는 방법)
그러나 이 대상을 이해하려면 '집합'으로 부족함을 깨달았다. '집합 사이의 관계'를 파악해야만 가능하다는 사실을 파악한다.
하여 두 집합 사이의 관계(relation)특히 함수(function)을 써서 이해한다는 집합론을 만들었다. (그것이 범주론인듯... 집합이긴 하지만 관계를 중시한다는 건가)

어떤 구조를 갖는 대상 전체의 모임(위상공간의 모임, 군의 모임, 등등)을 category라 부르고, 두 category 사이에 대응을 functor라고 부른다.
그리고 homology 이론(상동성? 어떤 형질의 진화 과정 동안 보존된 것)을 잘 보면(난 모르지만...) 대응관계(functor)만 알면 이 이론의 결과를 얻게 된다는 것을 알 수 있었다.

즉, category의 여러 성질을 알아내는데 그 성질은 functor가 다 가지고 있다는 것이다. 즉 어떤 집합을 알려 할 때, 이 집합의 요소는 몰라도! 집합에서 나오고 들어가는 함수들 전체의 합성관계만 알아도 집합의 성질을 알 수 있게 된다.
이말이다.

여기서 알 수 있는 것은 functor란 것은 이쪽 집합(세계)에서 저쪽 집합(세계)로 매핑해주는 녀석이라는 것.
https://en.wikipedia.org/wiki/Functor
- In mathematics, a functor is a map between categories.

쓰면서도 뭐가 뭔지 모르겠다. 일단 모나드로 돌아오자. 내부 함자 범주가 대체 뭐야? (찾아보니 함자가 functor의 한국말이다... 하...)
내부 함자 범주가 뭔진 잘 모르겠지만, 모나드에만 이제 집중해서 다시 찾아보자.
https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(category_theory)
In category theory, a branch of mathematics, a monad is an endofunctor (a functor mapping a category to itself), together with two natural transformations.
여기서는 모나드가 endofunctor라는데 괄호안에 있는 것이 뭘 말하는지는 잘 모르겠다. (functor인데 범주 자신에 매핑된다는 걸보니 아마 이런걸 말하는 가보다. f S -> S, 그러니까 이 박스에서 다른 박스 형태로 매핑되는 것이 아니라.
자기자신과 같은 박스형태로 매핑된다는 뜻인가보다... 사실 잘 모르겠다.)

함수형프로그래밍쪽 위키를 봐보자.
https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(functional_programming)
- In functional programming, a monad is a design pattern that defines how functions, operations, inputs, and outputs can be used together
to build generic types, with the following organization:
1. Define a data type, and how values of that data type are combined.
2. Create functions that use the data type, and compose them together into operations, following the rules defined in the first step.
모나드는 함수, 연산자, 인풋, 아웃풋이 제네릭 타입에서 어떻게 이용되는지 '아래와 같은 방식으로' 정의하는 패턴이다.
1. 데이터타입을 정의하고, 데이터타입의 값들이 어떻게 연결되는지 정의한다.
2. 첫번째 스텝에서 정의된 룰을 따라 함수들을 만든다. 그 함수들은 해당 데이터타입을 사용하고, 연산자로 그 둘을 섞는다(구성한다).
잘 모르겠지만, 수학에서의 monad랑 함수형프로그래밍의 모나드랑은 좀 다른 것 같다. 더 읽어보자.
A monad may encapsulate values of a particular data type, creating a new type associated with a specific additional computation,
typically to handle special cases of the type. For example, the simple Maybe monad encapsulates variables which may have a null value,
representing an option type, and automatically ensures that null values are not passed as arguments to functions that cannot handle them,
serving as an alternative programming technique to throwing and catching exceptions when null values arise.
모나드는 특정 값을 캡슐화 한다. (계산을 하고 박스를 생성해서 거기에 넣는다고 생각해보자.) 일반적으로 특별한 타입을 다룰 때 쓰인다고 한다.
예를들어 Maybe monad가 있다. Maybe monad는 null 값이 있을 수도 있는 값을 캡슐화 한다. 하스켈에서 Maybe 타입은 Just a | Nothing 이 두개가 있는데 Nothing이 바로 null 값을 대신한다고 생각하면 된다.
이 Maybe monad는 자동적으로 null 값을 넘기지 않는다. Just null 뭐 이렇게 넘기는 것이 아니라. Nothing이라는 값이 넘어간다. 아예 그 값(null)이 함수에 패스가 되지 않는 것이다. 그러므로 전혀 그 값을 다룰 수 없다.
그러면 일단 코딩을 할 때 그 녀석이 들어오지 않는다고 생각하고 코딩하면 된다. (null이 들어오는 것을 생각하며 코딩하면 더러워진다고 항상 코드가 더러워지지 않는가!!)
이렇게 만듬으로써 예외를 던진다거나 nullpointerException같은거 캐치하는 일은 이제 필요없게 된다.
Another example is the List monad,
where the empty list is a constant value of type List,
and the cons operator binds a plain value as the head of a previous list.
또 다른 예제는 List 모나드라고 한다.
빈 리스트는 List의 상수값이라고 한다. 그리고 cons 연산자는 값을 list의 앞(head)에 붙이는 역할을 한다.

=========================== E N D ========================
여기까지 읽고 한 번 되돌아 보자.
모나드는 그냥 프로그래밍을 할 때 쓰이는, 디자인패턴 중 하나라고 생각하는게 마음에 편할 것 같다.

자 그렇다면 이 Monad를 어떻게 쓰냐. 일단 Monad의 정보를 한번 보자.
Prelude> :info Monad
class Applicative m => Monad (m :: * -> *) where
(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
(>>) :: m a -> m b -> m b
return :: a -> m a
fail :: String -> m a
여기서 (>>=)는 bind라고 불리는 녀석인데 이 녀석이 핵심이다. (>> 이녀석은 then 이었나?) 한번 파헤쳐보자.
이 >>= 녀석이 하는 일은 한마디로 말하자면 박스에 있는 값을 함수 안에 넣는다고 생각해보자. *뇌피셜주의* (펑터에서는 박스 안에 함수를 넣었다면 이번엔 반대다! 왜냐하면 이 함수는 박스를 리턴하기 때문)
아래 타입을 보면 더 명확해진다.
(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
중간에 있는 (m -> m b)를 봐보자. 박스 안에 있는 값을 다루는데 input 값이 m a가 아니라 a 다.
이 말은 박스 안에 값만을 추출해서 함수의 아규먼트로 들어갔다는 말이다. 사용법을 봐보자.
m a >>= (a -> m b)
[]를 박스라고 해ㄷ보자.
[a] >>= a를 받아 b를 만든다 그리고 박스([])를 만들어서 거기에 b를 넣는다. -> 그러면 m b 즉, [b] 가 리턴될 것이다.
(이렇게, [a] >>= (\x -> ...) -> [b])

여기서 중요한 것은 어떤 타입(어떤 박스가 들어가 있던)이던 그 녀석들을 넣어서 계산하고 뱉어내는 것이다.
Prelude> (Just 2) >>= (\x -> return $ x + 2)
Just 4
Prelude> (Just 2.0) >>= (\x -> return $ x + 2)
Just 4.0
보면 알겠지만, 박스 안에 내용을 가져와서 x에 바인딩(그래서 >>=의 이름이 bind인가보다)되어 새로운 박스에 넣어서 리턴한다. 위에 return의 타입을 보자. a를 가져와서 m a를 뱉어낸다. 새로운 박스를 만들어서 뱉어내는 것이다.

여기까지가 오늘 정리한 내용이다.
틀린 내용이 있으면 수정을 계속 할 것이나...
무엇이 틀린 내용인지도 잘 모르는 멍청이 이기 때문에 안타깝다.

어떤 수학을 공부해야 이런 수학이론을 위키백과로 검색했을 때 나오는 내용들을 이해할 수 있을까?
함께 공부하고 아니면 함께 이걸로 무언가 만들 수 있으면 재미있을 것 같다.
남은 생도 열심히 살자.

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